\EXERCICE{%
\exercice{Décomposition de la vapeur d'eau}

La vapeur d'eau se décompose de manière catalytique suivant l'équation-bilan~\ref{eqChim}:
\begin{chemicalEquation}
\ce{2 H2O(g) <-> 2 H2(g) + O2(g)}
\label{eqChim}
\end{chemicalEquation}

On étudie la vitesse de cette réaction à une température $T$, dans un
récipient de volume $\mathrm{V}$ constant. On introduit à l'instant $t = 0$, une
quantité de matière $\mathrm{n}_0$ de vapeur d'eau, et on suit
l'évolution de la pression partielle en vapeur d'eau $p_\ce{H2O}$,
ce qui est traduit dans le tableau ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{ccccccc}\toprule
$t$ \, {/} \, s             & \numprint{0.00}  & \numprint{2.00}  & \numprint{4.00}  & \numprint{10.00} & \numprint{20.00} & \numprint{30.00} \\
$p_\ce{H2O}$ \, {/} \, bar & \numprint{20.00} & \numprint{18.76} & \numprint{17.61} & \numprint{14.55} & \numprint{10.58} & \numprint{7.70}\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

\rappel{$p_\ce{H2O} = x_\ce{H2O} P = \frac{n_{H_{2}O}}{n_{tot}} P$,
où $n_{tot}$ est le nombre total de molécules de gaz du système à
la pression $P$.}

\begin{questions}
\item Rappeler l'expression de la pression totale du système gazeux dans
        le cadre de la loi des gaz parfaits en fonction notamment de $T$. Faire
        de même pour la pression partielle en eau gazeuse $p(\ce{H2O})$.
        Donner les unités qu'il faut utiliser dans l'hypothèse où la constante
        des gaz parfaits vaut $\Rgp = \numprint{8,31}$~J\,K$^{-1}$mol$^{-1}$.
\item Montrer que la réaction est d'ordre 1 en donnant l'expression de
        l'évolution temporelle de $p_\ce{H2O}$ en fonction de la
        pression initiale notée $p_{\ce{H2O}_0}$ et de la constante
        de vitesse \kcin\ de la réaction~\ref{eqChim}.
\item Calculer \kcin\ à la température $T$.
\item Établir l'expression du temps de demi-réaction $t_{\frac{1}{2}}$
        en fonction notamment de \kcin, et calculer sa valeur à la température
        $T$.
\end{questions}
}

\SOLUTION{%
\soluce{Décomposition de la vapeur d'eau}
\reponse{Pressions}
Pour un gaz parfait, la pression s'exprime par la loi des gaz parfait:
\[
P = \frac{n \Rgp T}{\mathrm{V}}
\]
Pour une pression partielle d'une espèce $s$, on a la même relation:
\[
p_s = \frac{n_s \Rgp T}{\mathrm{V}}
\]
soit pour \ce{H2O}
\[
p_\ce{H2O} = \frac{n_\ce{H2O} \Rgp T}{\mathrm{V}}
\]
Dans le systeme SI, les unités sont:
\begin{itemize}
\item $P$/$p_s$ en Pa;
\item $\mathrm{V}$ en m$^{3}$;
\item $n$/$n_s$ en mol;
\item $T$ en K.
\end{itemize}

\reponse{Ordre de la réaction}
La loi de la cinétique s'écrit:
\begin{equation}
\begin{split}
- \frac{1}{2}\doverdt{\ac{H2O}} & = \kcin \ac{H2O}^{\alpha_\ce{H2O}} \\
\Leftrightarrow - \frac{1}{2}\doverdt{p_\ce{H2O}} & = \kcin p_\ce{H2O}^{\alpha_{\ce{H2O}}} \\
\Leftrightarrow - \frac{1}{2}\frac{\dd p_\ce{H2O}}{p_\ce{H2O}^{\alpha_{\ce{H2O}}}} & = \kcin \dd t \\
\Rightarrow - \frac{1}{2}\int_0^t\frac{\dd p_\ce{H2O}}{p_\ce{H2O}^{\alpha_{\ce{H2O}}}} & = \int_0^t\kcin \dd t \\
\end{split}
\label{kin:h2o}
\end{equation}
Dans l'hypothèse $\alpha_\ce{H2O} = 1$:
\[
\begin{split}
\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p_{\ce{H2O}_0}}{p_\ce{H2O}}\right) & = \kcin t \\
\Rightarrow \ln\left(p_\ce{H2O}\right) & = \ln\left(p_{\ce{H2O}_0}\right) - 2 \kcin t
\end{split}
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[xlabel = $t$ (s),
                ylabel = $\ln\left(p_\ce{H2O}\right)$]
\addplot[only marks] table[row sep=\\,x = t, y = lnp]
{
t lnp \\
0  14.51 \\
2  14.44 \\
4  14.38 \\
10 14.19 \\
20 13.87 \\
30 13.55 \\
};
\addplot+[mark=none] table[row sep=\\,y={create col/linear regression={y=lnp}},x=t]
{
t lnp \\
0  14.51 \\
2  14.44 \\
4  14.38 \\
10 14.19 \\
20 13.87 \\
30 13.55 \\
};
\node[align=center] at (axis cs:7.5,13.8) 
        {$a\cdot x + b$\\$\pgfmathprintnumber{\pgfplotstableregressiona}\cdot x \pgfmathprintnumber[print sign]{\pgfplotstableregressionb}$};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
On retrouve bien $b = \exp(p_{\ce{H2O}_0})$.

\reponse{Constante cinétique}
De la question précédente on obtient la relation:
\[
\kcin = -\frac{a}{2} = \numprint{1.595}\,10^{-2}~\mathrm{s^{-1}}
\]

\reponse{$t_{\frac{1}{2}}$}
En reprenant~\ref{kin:h2o} et en intégrant entre $t = 0$ et $t = t_{\frac{1}{2}}$,
sachant que $p_{\ce{H2O}_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}p_{\ce{H2O}_0}$:
\[
\begin{split}
\ln\left(\frac{p_{\ce{H2O}_0}}{p_{\ce{H2O}_{\frac{1}{2}}}}\right) & = 2\kcin t_{\frac{1}{2}} \\
\Rightarrow \ln\left(\frac{p_{\ce{H2O}_0}}{\frac{p_{\ce{H2O}_0}}{2}}\right) & = 2\kcin t_{\frac{1}{2}} \\
\Rightarrow t_{\frac{1}{2}} & = \frac{\ln(2)}{2\kcin}
                              = \numprint{22}~\mathrm{s}
\end{split}
\]
}
